Dreisatz-Formel (mit Beispielen)

Der Dreisatz ist eine praktische Methode, um einen fehlenden Wert zu berechnen, wenn drei zusammengehörige Werte bereits bekannt sind. Er wird häufig bei Preisen, Mengen, Rezepten, Arbeitszeiten, Entfernungen, Prozenten und anderen proportionalen Berechnungen verwendet.

Je nachdem, wie sich die Werte verändern, kann es sich um einen proportionalen oder einen umgekehrt proportionalen Zusammenhang handeln. In diesem Ratgeber erfahren Sie, wie die Formeln funktionieren, wann welche Methode verwendet wird und wie Sie überprüfen können, ob das Ergebnis sinnvoll ist.

Was ist der Dreisatz?

Mit dem Dreisatz lässt sich ein unbekannter Wert aus einem bekannten Verhältnis zwischen zwei Größen berechnen.

Zum Beispiel kosten 4 Artikel 12 €. Wie viel kosten 7 Artikel, wenn der Preis pro Artikel gleich bleibt?

Artikel	Kosten
4	12 €
7	?

Da mehr Artikel zu höheren Gesamtkosten führen, handelt es sich um einen proportionalen Zusammenhang.

Der fehlende Wert kann direkt mit der Formel berechnet werden. Alternativ kann zunächst der Wert für einen Artikel ermittelt werden.

Die Dreisatz-Formel

Bei einem proportionalen Zusammenhang gilt:

Fehlender Wert = (Bekanntes Ergebnis × neuer Wert) ÷ bekannter Wert

Für das obige Beispiel:

Kosten für 7 Artikel = (12 € × 7) ÷ 4 = 21 €

Also kosten 7 Artikel 21 €.

Das Verhältnis kann auch so dargestellt werden:

a : b = c : x

Dann gilt:

x = (b × c) ÷ a

Die Buchstaben sind dabei nicht entscheidend. Wichtig ist, dass zusammengehörige Größen in den jeweiligen Spalten korrekt angeordnet sind. So lassen sich Einheiten und Werte nicht so leicht vertauschen.

Die klassische Methode: Über eine Einheit rechnen

Eine weitere Möglichkeit bei einem proportionalen Zusammenhang besteht darin, zunächst den Wert für eine Einheit zu berechnen. Diese Methode eignet sich besonders gut, wenn Sie den Rechenweg Schritt für Schritt nachvollziehen möchten.

Beispiel: 4 Artikel kosten 12 €. Was kosten 7 Artikel?

Schritt 1: Preis für einen Artikel berechnen.

12 € ÷ 4 = 3 €

Ein Artikel kostet 3 €.

Schritt 2: Preis für 7 Artikel berechnen.

3 € × 7 = 21 €

Artikel	Kosten
4	12 €
1	3 €
7	21 €

Antwort: 7 Artikel kosten 21 €.

Die Einheitenmethode ist hilfreich, um ein Ergebnis zu überprüfen, da zunächst der Preis pro Artikel und anschließend der Gesamtpreis berechnet wird.

Proportionaler Dreisatz: Wenn sich beide Werte gleichsinnig verändern

Ein Zusammenhang ist proportional, wenn sich beide Größen in dieselbe Richtung verändern. Steigt eine Größe, steigt auch die andere entsprechend. Sinkt eine Größe, sinkt auch die andere.

Typische Beispiele sind:

• Der Gesamtpreis bei einer Änderung der Menge und gleichbleibendem Stückpreis.
• Die Zutatenmenge, wenn ein Rezept für mehr oder weniger Personen angepasst wird.
• Der Arbeitslohn bei einer Änderung der Arbeitszeit und gleichbleibendem Stundenlohn.
• Der Kraftstoffverbrauch bei unterschiedlichen Entfernungen und konstantem Verbrauch.

Beispiel 1: Rezeptmengen

Ein Rezept für 4 Personen benötigt 300 g Mehl. Wie viel Mehl wird für 6 Personen benötigt?

Personen	Mehl
4	300 g
6	?

Berechnung:

(300 × 6) ÷ 4 = 450 g

Antwort: Für 6 Personen werden 450 g Mehl benötigt.

Beispiel 2: Stundenlohn

Fünf Arbeitsstunden werden mit 90 € bezahlt. Wie viel beträgt der Lohn für 8 Stunden bei demselben Stundenlohn?

Stunden	Lohn
5	90 €
8	?

Berechnung:

(90 € × 8) ÷ 5 = 144 €

Antwort: Für 8 Arbeitsstunden beträgt der Lohn 144 €.

Beispiel 3: Kraftstoffverbrauch

Ein Auto verbraucht 6 Liter Kraftstoff auf 75 km. Wie viel Kraftstoff benötigt es für 250 km, wenn der Verbrauch gleich bleibt?

Entfernung	Kraftstoff
75 km	6 l
250 km	?

Berechnung:

(6 × 250) ÷ 75 = 20 l

Antwort: Für 250 km benötigt das Auto 20 Liter Kraftstoff.

Umgekehrt proportionaler Dreisatz: Wenn eine Größe steigt und die andere sinkt

Bei einer umgekehrten Proportionalität verändern sich die beiden Größen in entgegengesetzte Richtungen.

Zum Beispiel kann sich die benötigte Arbeitszeit für dieselbe Aufgabe verkürzen, wenn mehr Personen gleichzeitig daran arbeiten und alle mit derselben Leistung arbeiten.

Für einen umgekehrt proportionalen Zusammenhang gilt:

Fehlender Wert = (Bekannter Wert 1 × Bekannter Wert 2) ÷ neuer Wert

Beispiel 4: Arbeiter und Arbeitszeit

Vier Arbeiter können eine Wand in 12 Stunden streichen. Wie lange dauert dieselbe Arbeit mit 8 Arbeitern, wenn alle mit derselben Leistung arbeiten?

Arbeiter	Zeit
4	12 Stunden
8	?

Berechnung:

(4 × 12) ÷ 8 = 6 Stunden

Antwort: 8 Arbeiter benötigen 6 Stunden.

Schnellprüfung: Die Anzahl der Arbeiter wurde verdoppelt. Deshalb halbiert sich bei gleichbleibender Arbeitsleistung die benötigte Zeit von 12 auf 6 Stunden. Das Ergebnis passt somit zum umgekehrt proportionalen Zusammenhang.

Dreisatz mit Prozenten

Auch Prozentaufgaben können als Verhältnisrechnung dargestellt werden. Dabei entsprechen 100 % dem gesamten Ausgangswert.

Je nach Aufgabenstellung kann mit dieser Methode der Prozentwert, der Prozentsatz oder der ursprüngliche Gesamtwert berechnet werden.

Beispiel 5: Prozentwert berechnen

Wie viel sind 15 % von 240 €?

Betrag	Prozent
240 €	100 %
?	15 %

Berechnung:

(240 € × 15) ÷ 100 = 36 €

Antwort: 15 % von 240 € sind 36 €.

Beispiel 6: Grundwert berechnen

24 € entsprechen 12 % von welchem Betrag?

Hier entsprechen 24 € genau 12 %. Gesucht wird der Betrag, der 100 % entspricht.

Betrag	Prozent
24 €	12 %
?	100 %

Berechnung:

(24 € × 100) ÷ 12 = 200 €

Antwort: Der gesamte Betrag beträgt 200 €.

Beispiel 7: Prozentsatz berechnen

Ein Geschäft hat 120 Tickets, davon wurden 30 verkauft. Wie viel Prozent der Tickets wurden verkauft?

Tickets	Prozent
120	100 %
30	?

Berechnung:

(30 × 100) ÷ 120 = 25 %

Antwort: 30 Tickets entsprechen 25 % der Gesamtmenge.

So wählen Sie die richtige Methode

Bevor Sie die Werte berechnen, überlegen Sie, wie sich die beiden Größen zueinander verhalten.

• Beide Größen steigen oder beide sinken: Es handelt sich normalerweise um einen proportionalen Zusammenhang.
• Eine Größe steigt, während die andere sinkt: Es kann sich um einen umgekehrt proportionalen Zusammenhang handeln.

Wenn beispielsweise die Anzahl der gekauften Artikel steigt, erhöht sich normalerweise auch der Gesamtpreis. Bei einer festen Aufgabe kann dagegen eine größere Anzahl an Arbeitern die benötigte Arbeitszeit reduzieren.

Diese kurze Prüfung hilft dabei, die passende Dreisatzmethode auszuwählen.

Häufige Fehler

Unterschiedliche Größen in derselben Spalte

Zusammengehörige Werte sollten korrekt untereinander stehen.

Zum Beispiel:

4 Artikel → 12 €

wird zu:

7 Artikel → ?

Die Mengen gehören in eine Spalte und die Preise in die andere. Eine übersichtliche Tabelle erleichtert anschließend die Berechnung.

Proportionalen Dreisatz bei einer umgekehrten Aufgabe verwenden

Nicht jede Dreisatzaufgabe ist proportional.

Wenn beispielsweise mehr Arbeiter dieselbe Aufgabe erledigen, wird normalerweise weniger Zeit benötigt. Deshalb sollte vor der Berechnung geprüft werden, ob sich die Werte gleich- oder entgegengesetzt verändern.

Einheit vergessen

Schreiben Sie nach Möglichkeit immer die passende Einheit zum Ergebnis.

Beispiele:

• 20 €
• 500 g
• 6 Stunden
• 120 km
• 15 %

Die Einheit hilft außerdem dabei, das Ergebnis auf Plausibilität zu prüfen.

Zu früh runden

Vermeiden Sie unnötiges Runden während der Zwischenberechnungen. Verwenden Sie möglichst genaue Werte und runden Sie erst das Endergebnis, wenn dies erforderlich ist.

Das kann besonders bei Geldbeträgen, Messwerten und Prozentberechnungen wichtig sein.

Dreisatz-Formeln auf einen Blick

Art der Aufgabe	Formel
Proportionaler Dreisatz	x = (bekanntes Ergebnis × neue Eingabe) ÷ bekannte Eingabe
Umgekehrt proportionaler Dreisatz	x = (bekannte Eingabe × bekanntes Ergebnis) ÷ neue Eingabe
Prozentwert	Prozentwert = Grundwert × Prozentsatz ÷ 100
Prozentsatz	Prozentsatz = Prozentwert × 100 ÷ Grundwert
Grundwert	Grundwert = Prozentwert × 100 ÷ Prozentsatz

Diese Formeln können direkt in einen Dreisatz-Rechner übertragen werden, sodass der fehlende Wert automatisch berechnet werden kann.

Übungsaufgaben

Versuchen Sie, die folgenden Aufgaben zunächst selbst zu lösen.

1. Drei Kugelschreiber kosten 4,50 €. Was kosten 8 Kugelschreiber?
   Antwort: 12 €
2. Ein Rezept benötigt 200 ml Milch für 5 Pfannkuchen. Wie viel Milch wird für 12 Pfannkuchen benötigt?
   Antwort: 480 ml
3. Sechs Arbeiter erledigen eine Aufgabe in 10 Tagen. Wie lange benötigen 15 Arbeiter bei gleicher Arbeitsleistung?
   Antwort: 4 Tage
4. Wie viel sind 8 % von 375 €?
   Antwort: 30 €

Die Aufgaben decken proportionale, umgekehrt proportionale und prozentuale Berechnungen ab.

Häufig gestellte Fragen

Ist der Dreisatz immer genau?

Der Dreisatz liefert ein korrektes Ergebnis, wenn zwischen den verwendeten Größen tatsächlich ein proportionales Verhältnis besteht. Bei festen Zusatzkosten, gestaffelten Preisen, veränderlichen Tarifen oder anderen Bedingungen kann die Methode ungeeignet sein.

Kann ich den Dreisatz für Prozentrechnungen verwenden?

Ja. Prozentaufgaben lassen sich als Verhältnisrechnung darstellen, wobei der vollständige Wert 100 % entspricht. Je nach Ausgangsdaten können Sie damit den Prozentwert, Prozentsatz oder Grundwert berechnen.

Wie berechne ich einen proportionalen Dreisatz am schnellsten?

Bei einem proportionalen Zusammenhang multiplizieren Sie das bekannte Ergebnis mit der neuen Eingabe und teilen anschließend durch die bekannte Eingabe.

Zum Beispiel:

(12 € × 7) ÷ 4 = 21 €

Mit einem Dreisatz-Rechner können Sie die entsprechenden Werte eingeben und das Ergebnis direkt erhalten.

Woran erkenne ich einen umgekehrt proportionalen Zusammenhang?

Überlegen Sie, ob eine größere Menge der einen Größe eine kleinere Menge der anderen Größe zur Folge hat, während die übrigen Bedingungen gleich bleiben.

Beispielsweise kann eine höhere Anzahl an Arbeitern die benötigte Zeit für dieselbe Aufgabe verringern, wenn alle Arbeiter mit gleicher Leistung arbeiten.

Kann ich Dreisatzberechnungen in Excel durchführen?

Ja. Mit einfachen Excel-Formeln lassen sich solche Berechnungen durchführen.

Für einen proportionalen Zusammenhang:

=bekanntes_ergebnis*neue_eingabe/bekannte_eingabe

Für einen umgekehrt proportionalen Zusammenhang:

=bekannte_eingabe*bekanntes_ergebnis/neue_eingabe

In einer tatsächlichen Excel-Tabelle können Sie die Platzhalter durch die entsprechenden Zellbezüge ersetzen.

Fazit

Der Dreisatz bietet eine einfache Möglichkeit, einen unbekannten Wert aus einem bekannten Verhältnis zu berechnen. Entscheidend ist zunächst, festzustellen, ob zwischen den Größen ein proportionaler oder umgekehrt proportionaler Zusammenhang besteht.

Bei proportionalen Aufgaben verändern sich die Größen gleichsinnig. Bei umgekehrt proportionalen Aufgaben steigt eine Größe, während die andere sinkt. Auch Prozentaufgaben lassen sich mithilfe von 100 % als Ausgangspunkt berechnen.

Für schnelle Berechnungen können Sie die bekannten Werte in einen Dreisatz-Rechner eingeben und das Ergebnis direkt erhalten. Wenn Sie den Rechenweg nachvollziehen oder überprüfen möchten, zeigt die Einheitenmethode Schritt für Schritt, wie das Ergebnis entsteht.